• pour les perf : " Object.keys(connected).length " - vaut mieux mettre ça en computed car à chaque update il va appeler la fonction Object.keys

• si vous voulez encore plus creuser firebase, sachez que il peut vous dire aussi qui est connecté grâce à https://firebase.google.com/docs/reference/js/firebase.database.OnDisconnect

Privilégiez les noms de composant en 2 mots ou plus, pour être sûr de pas créer un composant qui peut avoir le même nom qu'une vraie balise

vous avez utilise un ref pour récupérer la value, ça marche mais ce n'est pas bien car ça peut créer une désynchro entre les donnée et l'ui, là il vaut mieux utiliser le v-model https://vuejs.org/v2/guide/forms.html#Basic-Usage vous verrez aussi que v-model à un trim natif :)

Séparer les call vers firebase dans un objet à part avec des methods, comme ça vous centraliser tous les call à un endroit, et c'est cet objet que vous appelez dans vos composant, j'en parle ici :
https://itnext.io/anyway-heres-how-to-do-ajax-api-calls-with-vue-js-e71e57d5cf12

• l'event v-on:keyup.enter c'est bien mais toujours utiliser un form avec l'event submit c'est mieux ça vous évitera de mettre un event sur keyup et click

Un vrai UI plutôt qu'un prompt