Так как на тарифах виртуального хостинга Timeweb нет возможности добавить иной SSH-доступ, кроме основного, то работа в пределах такого тарифа возможна только под одним юзером.

1. Для начала необходимо включить SSH-доступ, для чего требуется привязка телефона с подтверждением SMS-кодом.

2. Заходим на сервер, где <user> соответственно логин, а <server> хост, который можно узнать в панели управления:

ssh <user>@<server>.timeweb.ru

3. Заходим в папку проекта, для примера my-site, и инициализируем там репозиторий:

cd my-site
git init

4. Добавляем в конфиг свою почту и имя пользователя (если до этого не было):

git config --global user.name "John Doe"
git config --global user.email [email protected]

Посмотреть настройки можно командой:

git config --list

5. Добавляем какой-нибудь файл, например .gitignore, коммитим:

git add .
git commit -m "init"

6. Создаем в корне папку git и переходим в нее:

cd ~
mkdir git
cd git

7. Тут инициализируем bare-репозиторий:

git clone --bare ../my-site my-site.git

8. Возвращаемся в папку проекта и добавляем туда:

cd ~/my-site
git remote add shared ../git/my-site.git

9. Добавляем хук post-update в bare-репозиторий:

cd ~/git/my-site.git/hooks

С содержимым:

#!/bin/sh

cd /home/u/user/my-site || exit
unset GIT_DIR
git pull shared master

exec git-update-server-info

Где /u/user/ - это первая буква логина и сам логин. Даем права на запуск:

chmod +x post-update

10. Добавляем хук post-commit в репозиторий проекта:

cd ~/my-site/.git/hooks

С содержимым:

#!/bin/sh
git push shared

Даем права на запуск:

chmod +x post-commit

11. Возвращаемся в папку проекта:

cd ~/my-site

И пушимся:

git push --set-upstream shared master

12. Локально добавляем удаленный репозиторий и обновляемся:

git remote add origin ssh://<user>@<server>.timeweb.ru/home/<u>/<user>/git/my-site.git
git pull origin master

Примечание:
в случае работы с IDE JetBrains PhpStorm/WebStorm достаточно:
а) в стартовом окне выбрать Checkout from Version Control -> Git
б) в произвольном открытом проекте в верхнем меню выбрать VCS -> Checkout from Version Control -> Git
и в поле Git Repository URL ввести:

ssh://<user>@<server>.timeweb.ru/home/<u>/<user>/git/my-site.git

После запуска проекта пулить сразу уже не требуется.

Работаем как и с обычным репозиторием. Конец, успех.