Buenas, Alvax.

Ante todo felicitaciones!
Te marco algunas cositas que vi que te podrían ser de utilidad.
El flujo anda perfectamente, lo único que noté que podría mejorar es que en caso de que uno o los dos de los jugadores no elije una opción, te deja continuar. También, si el segundo jugador toca "Volver a Jugar", no espera ni avisa al otro y arranca el juego con él solo.

Sobre el código:

• Hay algunas validaciones y condicionales que creo que podrías resumirlos para ahorrarte pasos para que sea mas legible y cómoda de escalar.
  https://github.com/Alvax10/desafio-final-m6/blob/ecfc9b3e0ea0466c64235fd5da72f291578c0c89/client/pages/playing.ts#L210-L231

En este ejemplo creo que se podría utilizar los dos primeros if y los dos últimos como condicionales juntos como if((cs['userName-player2'] || cs['userName-player2']) == ' '){...}.
También estos casos de tantas validaciones podrían ejecutarse en el state con una función auxiliar que te devuelva un booleano y de ahí renderices o redirijas.
Además que es una validación que hacés varias veces en distintas pages, te podría simplificar mucho el código encargárselo al state y simplemente invocarlo.
Otra cosa que podría ayudar es que inicialices los valores en null. Cosa de que existan las propiedades, pero no su valor, entonces validás directamente el truthy de si existe x valor.

• Cuidado con los updates de la rtdb desde el state por cuestiones de seguridad, eso debería pasar por la API para no exponer la db.
  https://github.com/Alvax10/desafio-final-m6/blob/ecfc9b3e0ea0466c64235fd5da72f291578c0c89/client/state.ts#L254-L292

Por lo demás, está excelente y vuelvo a felicitarte por ello!
Saludos!

Buenas! Me gusta como dejaste la documentación el postman, lo que si me llama la atención es que tenés dos endpoints en postman que apuntan al mismo endpoint en el código. No se si me expliqué bien, en postman tenés 2 llamados a un GET pero en el codigo tenes 1 GET solo, ahora no entiendo específicamente cuál es la función del endpoint.
Esta bueno como delegas todo en el state, las páginas tienen una lógica mínima que es más para decidir a dónde tienen que ir después.
Un detalle nomás que a mi me hace un poco de ruido es lo siguiente:

(espero que salga bien la imagen jaja)
Y es que si ves que tu parametro queda muy largo (como es el caso) lo mejor es que lo guardes en una variable bien identificada, tal vez algo asi:

Fijate que el código es mas legible y en todo caso reutilizable.